Задача сглаживания методом наименьших квадратов приводит к решению системы линейных уравнений вида
| R^{T}Rz + wC^{T}Cz = R^{T}u |
| (6.3.6.1) |
где C – матрица кривизн, w – числовой параметр, z=z(w) – коэффициенты разложения аппроксимирующего (сглаживающего) кусочного полинома. Дифференцируя по w, получим
| \left( R^{T}R+wC^{T}C \right)\cdot z'(w) = -C^{T}Cz(w) |
| (6.3.6.2) |
В качестве критерия оптимальности в этой задаче можно взять уравнение
| \left\| z(w)-u \right\|^{2} = \delta^{2} |
| (6.3.6.3) |
с некоторой заданной дифференцируемой нормой и параметром \delta >0 , определяющим точность аппроксимации. Решение уравнения (6.3.6.3), например, методом Ньютона, приведет к решению систем уравнений (6.3.6.1) и (6.3.6.2) с одной и той же симметричной положительно определенной матрицей R^{T}R+wC^{T}C на каждом шаге итерационного процесса.
Пример.
|
| Рис. 6.3.6.1 – Восстановление функции кусочным Эрмитовым кубическим полиномом по 5 узлам. Итерация №1. |
|
| Рис. 6.3.6.2 – Восстановление функции кусочным Эрмитовым кубическим полиномом по 5 узлам. Итерация №4. |
