PolyGon – Руководство Пользователя 2.0

Уравнение пьезопроводности (6.2.1.4) можно упростить путем перемещения в пространство Лапласовых функций. Здесь будем использовать преобразование Лапласа, при котором уравнение пьезопроводности в сочетании с начальным условием приобретает следующий вид:

Трансформанта Лапласа:

$\begin{array}{l}\displaystyle \bar{p}\!\left(u, r_{D}\right) = \int\limits_{t_{D}=0}^{\infty} p_{D}\!\left( t_{D},r_{D} \right)\, e^{-ut_{D}} dt_{D}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.2.3.1)\end{array}$

Уравнение пьезопроводности в Лапласовом пространстве:

$\begin{array}{l}\displaystyle u\,\bar{p}_{D} = \frac{1}{r_{D}} \frac{\partial}{\partial r_{D}} \left[ r_{D} \frac{\partial \bar{p}_{D}}{\partial r_{D}} \right]\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.2.3.2)\end{array}$

Родовое видоизменение решения Бесселя:

$\begin{array}{l}\displaystyle \bar{p}_{D}\!\left( u,r_{D} \right) = A(u)\, K_{0}\!\left( r_{D} \sqrt{u} \right) + B(u)\, I_{0}\!\left( r_{D} \sqrt{u} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.2.3.3)\end{array}$

$\begin{array}{l}K_{0}\end{array}$ и $\begin{array}{l}I_{0}\end{array}$ – видоизмененные функции Бесселя нулевого порядка. Неизвестные функции $\begin{array}{l}A\end{array}$ и $\begin{array}{l}B\end{array}$ берутся из внутренних и внешних граничных условий.

Это даёт:

из внешнего граничного условия: $\begin{array}{l}B(u) = 0\end{array}$ ;
из внутреннего граничного условия: $\begin{array}{l}A(u) = 1/u\end{array}$ .

Решение линейного источника в Лапласовом пространстве:

$\begin{array}{l}\displaystyle \bar{p}_{D}\!\left( u,r_{D} \right) = \frac{1}{u}\, K_{0}\!\left( r_{D} \sqrt{u} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.2.3.4)\end{array}$

Действительным решением является обратное преобразование Лапласа этой функции.

Интегральное показательное решение:

$\begin{array}{l}\displaystyle p_{D}\!\left( r_{D, t_{D}}\right) = -E_{i}\left( -\frac{r_{D}^{2}}{4t_{D}} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.2.3.5)\end{array}$

Для малых отрицательных аргументов у экспоненциального интеграла есть логарифмическая аппроксимация, которая послужит основой «бесконечно действующего радиального течения». Его можно записать так:

$\begin{array}{l}\displaystyle p_{D}\!\left( r_{D}, t_{D} \right) \approx \frac{1}{2}\left[ \ln \frac{t_{D}}{r_{D}^{2}} \right], \qquad t_{D}\ge 100.\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.2.3.6)\end{array}$

Таким образом, физическое решение, в любой точке и в любое время, для скважины линейного источника, эксплуатирующей однородный бесконечный коллектор, будет иметь вид:

$\begin{array}{l}\displaystyle p(t) = P_{i}-\frac{qB\mu}{kh} \left[ -E_{i}\!\left( -\frac{\phi \mu c_{t}r_{w}^{2}}{kt} \right) \right]\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.2.3.7)\end{array}$


Рис. 6.2.3.1 − Смоделированный режим линейного источника и производная от него (синие и красные точки соответственно).