Закон Дарси:
| \frac{\Delta p}{L} = \frac{Q \cdot \mu}{k \cdot A} |
| (6.2.1.1) |
где \Delta p – перепад давления, k – проницаемость, Q – расход, \mu – вязкость, L – расстояние, A – площадь сечения, по которому происходит движение флюида.
Закон Дарси является основным фундаментальным законом, применяемым в анализе динамического потока.
При использовании радиальных координат расход для добывающей скважины принимается положительным, т.е. подразумевается течение из пласта в скважину.
Формула Дарси в линейных координатах, в направлении x:
| \frac{\partial p}{\partial x} = \frac{q_{x} \cdot \mu}{k_{x} \cdot A} |
| (6.2.1.2) |
Формула Дарси в радиальных координатах:
| r\frac{\partial p}{\partial r} = \frac{q \mu}{k A} |
| (6.2.1.3) |
Закон Дарси также используется для задания граничных условий течения, чтобы определить градиент давления, близкий к добывающим и нагнетательным скважинам. Когда Закон Дарси не действует, мы говорим о течении жидкости, не подчиняющемся закону Дарси. Задачи с течением, не подчиняющимся закону Дарси, обычно решаются при помощи численного моделирования.
Уравнение пьезопроводности:
| \frac{\partial p}{\partial t} = \Delta \cdot \frac{k \cdot p}{\phi \cdot \mu \cdot c_{t}} = \frac{1}{\phi \cdot \mu \cdot c_{t}} \left[ \frac{\partial^{2}k_{x}p}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}k_{y}p}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}k_{z}p}{\partial z^{2}} \right] |
| (6.2.1.4) |
где k – проницаемость, \phi – пористость, \mu – вязкость, c_{t} – общая сжимаемость, p – давление.
Уравнение (6.2.1.4), показывает, как в элементарном объеме пород давление будет изменяться во времени и пространстве, как функция локального градиента давления вокруг этого элементарного объема. Можно создать столько уравнений пьезопроводности, сколько существует допущений о процессах, происходящих в пласте. Фундаментальная теория анализа динамического потока пользуется простейшим уравнением пьезопроводности со следующими исходными допущениями:
- однородность и изотропность коллектора;
- однофазность и малая сжимаемость флюида;
- влияние силы тяжести игнорируется, в противном случае уравнение пьезопроводности записывается для потенциала, а не давления;
- справедлив закон Дарси;
- свойства коллектора и флюида не зависят от давления.
При данных условиях уравнение пьезопроводности выводится из следующих уравнений:
- уравнения сохранения массы или неразрывности;
- уравнения Дарси;
- уравнения состояния для малосжимаемой жидкости.
В направлении оси x уравнение (6.2.1.4) принимает вид:
| \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{k_{x}}{\rho \phi c_{t}} \frac{\partial^{2}p}{\partial x^{2}} |
| (6.2.1.5) |
Для того чтобы описать физическую задачу, уравнение (6.2.1.5) необходимо дополнить набором начальных условий. Самое общее условие, это допустить, что в начальный момент времени t=0, в соответствии с началом цикла эксплуатации, у коллектора было начальное равномерное давление, например, P_{i} = 3500 \,\mbox{psi} (см. рис. 6.2.1.1).
Однородное начальное давление:
| p(t=0,\, r) = P_{i} |
| (6.2.1.6) |
При t<0\; \rightarrow \; Q=0 \, \mbox{bpd}, при t\ge0\; \rightarrow \; Q=3500 \, \mbox{bpd}.
|
| Рис. 6.2.1.1 – Зависимость давления от времени (верхний график), зависимость дебита от времени (нижний график). |
Граничные условия
Еще один набор уравнений нужен для определения контура коллектора (залежи) и параметров потока в каждой границе коллектора. Начальное граничное условие - граница отсутствует, т.е. кол-лектор имеет бесконечную протяженность.
Ближайшая граница реального коллектора находится за пределами затрагиваемой площади во время исследований.
Бесконечный коллектор моделируется в радиальных координатах по формуле:
| \lim\limits_{r\to \infty} p(r,t) = P_{i} |
| (6.2.1.7) |