PolyGon – Руководство Пользователя 2.0

Устройство фильтра

Пользователь задает в интерфейсном окне три числа: $\begin{array}{l}\Delta 𝑃_{𝑚𝑎𝑥}, \Delta 𝑡_{𝑚𝑎𝑥}, \Delta 𝑡_{𝑚𝑖𝑛}\end{array}$ . На каждом промежутке $\begin{array}{l}\Delta t_{max}\end{array}$ остается только одна точка, если разность давлений между двумя соседними точками меньше или равна $\begin{array}{l}\Delta P_{max}\end{array}$ . Если разность между соседними точками больше или равна $\begin{array}{l}\Delta P_{max}\end{array}$ , а разность разница по времени в то же самое время меньше чем заданное максимальное значение, решение интерполируется на мелкую сетку, заданной величиной $\begin{array}{l}\Delta t_{min}\end{array}$ .

Алгоритм прореживания массива данных

Оптимизация расчета экспонент. Аппроксимация Паде

Представление экспоненты Гаусса в дробно рациональном виде:

$\begin{array}{l}\displaystyle e^{-ax^{2}} = \sum\limits_{i=0}^{\infty}c_{i}x^{i} = \frac{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{L}x^{L}}{b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...+b_{M}x^{M}} + O(x^{M+L+1})\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.1)\end{array}$

Уравнение, из которого определяются коэффициенты $\begin{array}{l}b_{i}\end{array}$ :

$\begin{array}{l}\displaystyle b_{0}=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.2)\end{array}$

$\begin{array}{l}\left( \begin{array}{ccc} c_{L-M+1} & \cdots & c_{L} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{L} & \cdots & c_{L+M-1} \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} b_{m} \\ \vdots \\ b_{1} \end{array} \right) = -\left( \begin{array}{c} c_{L+1} \\ \vdots \\ c_{L+M} \end{array} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.3)\end{array}$

Уравнения, из которых определяются коэффициенты $\begin{array}{l}a_{i}\end{array}$ :

$\begin{array}{l}\displaystyle a_{0} = c_{0}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.4)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle a_{i} = c_{i}+\sum\limits_{j=1}^{i}b_{j}c_{i-j}, \qquad i = 1,...,L\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.5)\end{array}$

при условии, что $\begin{array}{l}c_{j}=0\end{array}$ при $\begin{array}{l}𝑗 < 0\end{array}$ .

При параметрах $\begin{array}{l}𝐿 = 𝑀 = 2\end{array}$ расхождение на кривых начинается в пределах $\begin{array}{l}1.5\sigma\end{array}$ ( $\begin{array}{l}\sigma = 1/\sqrt{2a}\end{array}$ ) (Рис. 6.3.4.1).

Рис. 6.3.4.1 – Паде-аппроксимация для различных параметров $\begin{array}{l}𝐿\end{array}$ , $\begin{array}{l}𝑀\end{array}$ .

Были перепробованы различные варианты параметров аппроксимации. В дальнейшем используются полиномы порядков $\begin{array}{l}𝐿 = 0\end{array}$ , $\begin{array}{l}𝑀 = 3\end{array}$ .

Фильтр Калмана

В итерационном процессе фильтрации по Калману оптимальное значение переменной в момент времени $\begin{array}{l}𝑡 = 𝑡_{𝑘}\end{array}$ вычисляется в следующей системе уравнений:

$\begin{array}{l}\displaystyle P_{k+1} = P_{k}+u_{k}+\xi_{k}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.6)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle z_{k} = P_{k}+\eta_{k}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.7)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle P_{k+1}^{\mbox{opt}} = K_{k+1}z_{k+1}+(1-K_{k+1})\left( P_{k}^{\mbox{opt}} + u_{k}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.8)\end{array}$

где $\begin{array}{l}P_{k}^{\mbox{opt}}\end{array}$ – требуемая оценка реальной величины $\begin{array}{l}𝑃_{𝑘}\end{array}$ ; $\begin{array}{l}z_{k}\end{array}$ – показания счетчика; $\begin{array}{l}u_{k}\end{array}$ – известное значение скорости изменения величины $\begin{array}{l}P_{k}\end{array}$ умноженное на промежуток времени $\begin{array}{l}\Delta 𝑡_{𝑘} = 𝑡_{𝑘} − 𝑡_{𝑘−1}\end{array}$ ; $\begin{array}{l}\xi_{𝑘}\end{array}$ и $\begin{array}{l}\eta_{𝑘}\end{array}$ – ошибки записи счетчика и в определении модели поведения системы соответственно; $\begin{array}{l}K_{k}\end{array}$ – итерационно определяемый параметр Калмана.

Коэффициент Калмана рассчитывается по следующей формуле:

$\begin{array}{l}\displaystyle K_{k+1} = \frac{E\!\left( e_{k+1}^{2} \right)}{\sigma^{2}_{\eta}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.9)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle E\!\left( e_{k+1}^{2} \right) = \frac{\sigma_{\eta}^{2}\left( E(e_{k}^{2})+\sigma_{\xi_{k}}^{2} \right)}{ E(e_{k}^{2})+\sigma_{\xi_{i}}^{2}+\sigma_{\eta}^{2}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.10)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle E\!\left( e_{0}^{2} \right) = \sigma_{\eta}^{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.11)\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle e_{k} = P_{k}-P_{k}^{\mbox{opt}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.12)\end{array}$

Пример применения фильтра Калмана к модельным зашумленным данным:

Рис. 6.3.4.2 – Модельное давление

Рис. 6.3.4.3 – Зашумленное давление

Рис. 6.3.4.4 – Фильтрованное давление

Рис. 6.3.4.5 – Разница между фильтрованным и модельным давлениями

Фильтрация приливных компонент шума

Применение экспоненциального сглаживания.

Скользящее среднее представляет собой фильтр низких частот с граничной частотой обратно пропорциональной ширине окна:

$\begin{array}{l}\displaystyle \nu_{\mbox{bound}} = \frac{1}{\mbox{window}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.13)\end{array}$

Фильтрованный сигнал представляется следующим выражением:

$\begin{array}{l}\displaystyle P_{i}^{*}=\frac{\sum\limits_{j=1}^{N} P_{j} \exp\!\left[ \frac{(t_{j}-t_{i})^{2}}{2\pi\sigma^{2}} \right]}{\sum\limits_{j=1}^{N} \exp\!\left[ \frac{(t_{j}-t_{i})^{2}}{2\pi\sigma^{2}} \right]}\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle (6.3.4.14)\end{array}$

где $\begin{array}{l}\mathrm{\mbox{window}\,= 6\sigma}\end{array}$ .

Частотные характеристики построенного фильтра

На Рис. 6.3.4.6 и Рис. 6.3.4.7 представлены АЧХ и ФЧХ для двух значений окна: $\begin{array}{l}\mbox{окно}_{1} = 1/10\, \mbox{час}\end{array}$ и $\begin{array}{l}\mbox{окно}_{2} = 24\, \mbox{час}\end{array}$ .

Рис. 6.3.4.6 – АЧХ и ФЧХ для фильтра при $\begin{array}{l}\mbox{окно}_{1} = 1/10\, \mbox{час}\end{array}$ .

Рис. 6.3.4.7 – АЧХ и ФЧХ для фильтра при $\begin{array}{l}\mbox{окно}_{2} = 24\, \mbox{час}\end{array}$ .