||
6.3.2.1 Метод фон Шрётера

Метод деконволюции (развертки) представлен фонШрёдером в Имперском институте в 2004 г.

Метод Шретера решения задачи (6.3.2.2) заключается в следующих принципиальных шагах:

  • В исходном уравнении осуществляется переход к логарифмическому времени 𝑥 = \ln 𝑡, что позволяет избавиться от логарифмической особенности импульсной характеристики.
  • Вводится новая неизвестная функция 𝑧(𝑥), связанная с логарифмической производной (производной Бурде) переходной характеристики соотношением: t\, p_{u}^{'}(t) = e^{z(x)}. При этом уравнение (6.3.2.2) переходит в уравнение 
p_{0}-p(t) = \int\limits_{-\infty}^{\ln t} e^{z(y)}\, q(t-e^{y})\, dy
(6.3.2.1.1)
  • Вводится достаточно малый параметр t_{1} (𝑡_{1} = 0.001 по умолчанию) и уравнение (6.3.2.1.1) заменяется близким к нему
p_{0}-p(t) = p_{u}(t_{1})q(t) + \int\limits_{x_{1}}^{\ln t} e^{z(y)}\, q(t-e^{y})\, dy, \qquad \ln t_{1}
(6.3.2.1.2)

На самом деле, если функция рейтов q(t) является кусочно-постоянной функцией (стандартное допущение), то (6.3.2.1.2) не только аппроксимирует (6.3.2.1.1), но и в точности эквивалентно ему, причем p_{u}(t_{1}) вычисляется как

p_{u}(t_{1}) = \int\limits_{-\infty}^{x_{1}} e^{z(y)} dy
(6.3.2.1.3)

Величина (6.3.2.1.3) в общем случае является неизвестной и отыскивается в процессе решения.

  • Функция фон Шрётера z(x) аппроксимируется кусочными полиномами (кусочно-линейными функциями в оригинальной работе фон Шрётера), кусочно-кубическими функциями класса C^{1} в нашей реализации. Для этого на отрезке \left[𝑥_{1}, 𝑥_{𝑚𝑎𝑥}\right]𝑥_{𝑚𝑎𝑥} = \ln 𝑇_{𝑚𝑎𝑥} задается (равномерная по умолчанию) сетка узлов 𝑥_{𝑖}, 𝑖 = 1: 𝑛_{𝑧}, т.е. отрезок \left[𝑥_{1}, 𝑥_{𝑚𝑎𝑥}\right] делится на 𝑛_{𝑧} − 1 подсегментов 𝑒_{𝑖}. С этим разбиением ассоциируется пространство кусочно-кубических непрерывно дифференцируемых полиномов
S_{h} = \left\{ z\in C^{1}\left[ x_{1},x_{max} \right]:\; z\left|_{e_{i}} \in P(e_{i}) \; \forall i = 1:n_{z}-1\right\}
(6.3.2.1.4)

Каждая функция из 𝑆 однозначно определяется массивом узловых параметров

z_{k},k = 1:N_{z},\; N_{z}=2n_{z};\qquad z_{2i-1} = z(x_{i}),\; z_{2i}=z'(x_{i})
(6.3.2.1.5)

Таким образом, основным неизвестным задачи деконволюции в методе фон Шрётера является вектор узловых параметров 𝑧 = (𝑧_{1}, 𝑧_{2}, … , 𝑧_{𝑁_{𝑧}}).

  • Формулируется задача минимизации функционала
f(u)=f_{p}(u)+f_{c}(z)+f_{q}(q)
(6.3.2.1.6)

где 𝑢 – вектор неизвестных, который кроме массива узловых параметров 𝑧 может включать в себя начальное пластовое давление 𝑝_{0}, величину 𝑝_{𝑢}(𝑡_{1}), массив дебитов 𝑞 = \left[ 𝑞_{1}, 𝑞_{2}, … ,𝑞_{𝑁} \right]. В (6.3.2.1.6) целевой функционал 𝑓(𝑢) представляется в виде суммы трех функционалов, каждый из которых несет свой математический смысл. Так 𝑓_{𝑝}(𝑢) = \left\| 𝑟 \right\|^{2}, где вектор невязки по давлениям

r = r(t,z,...)=p(t)-p_{0}+p_{u}(t_{1})q(t)+\int\limits_{x_{1}}^{\ln t} e^{z(y)}\, q(t-e^{y})\, dy
(6.3.2.1.7)

𝑓_{c}(𝑢) = \left\| z \right\|^{2} – функционал кривизны функции фон Шрётера – регуляризатор задачи деконволюции; 𝑓_{q}(q) = \left\| q-q_{0} \right\|^{2} – квадрат нормы отклонения текущего вычисленного массива дебитов от начального заданного массива дебитов. Последний функционал включается в целевую функцию для коррекции дебитовДля решения задачи минимизации был реализован метод Левенберга-Марквардта, который на модельных тестах показал хорошую устойчивую сходимость к нужному решению.